电位移

2024-11-25 09:25来源：

在电磁学里，电位移是出现于麦克斯韦方程组的一种向量场，可以用来解释介电质内自由电荷所产生的效应。电位移 criptlevel="0"> D {\displaystyle \mathbf {D} } 以方程定义为

criptlevel="0"> D   = d e f   ε 0 E + P {\displaystyle \mathbf {D} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} } ；

其中， criptlevel="0"> ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} 是电常数， criptlevel="0"> E {\displaystyle \mathbf {E} } 是电场， criptlevel="0"> P {\displaystyle \mathbf {P} } 是电极化强度。

概述

高斯定律表明，电场的散度等于总电荷密度 criptlevel="0"> ρ t o t a l {\displaystyle \rho _{total}} 除以电常数：

criptlevel="0"> ∇ ⋅ E = ρ t o t a l / ε 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{total}/\varepsilon _{0}} 。

电极化强度的散度等于负束缚电荷密度 criptlevel="0"> − ρ b o u n d {\displaystyle -\rho _{bound}} ：

criptlevel="0"> ∇ ⋅ P = − ρ b o u n d {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{bound}} 。

而总电荷密度等于束缚电荷密度加上自由电荷密度 criptlevel="0"> ρ f r e e {\displaystyle \rho _{free}} ：

criptlevel="0"> ρ t o t a l = ρ f r e e + ρ b o u n d {\displaystyle \rho _{total}=\rho _{free}+\rho _{bound}} 。

所以，电位移的散度等于自由电荷密度 criptlevel="0"> ρ f r e e {\displaystyle \rho _{free}} ：

criptlevel="0"> ∇ ⋅ D = ρ f r e e {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{free}} 。

这与高斯定律的方程类似。假设，只给定自由电荷密度 criptlevel="0"> ρ f r e e {\displaystyle \rho _{free}} ，或许可以用高斯方法来计算电位移 criptlevel="0"> D {\displaystyle \mathbf {D} } 。但是，在这里，不能使用这方法。只知道自由电荷密度 criptlevel="0"> ρ f r e e {\displaystyle \rho _{free}} ，有时候仍旧无法计算出电位移。思考以下关系式：

criptlevel="0"> ∇ × D = ε 0 ( ∇ × E ) + ( ∇ × P ) {\displaystyle \nabla \times \mathbf {D} =\varepsilon _{0}(\nabla \times \mathbf {E} )+(\nabla \times \mathbf {P} )} 。

假设电场为不含时电场（即与时间无关的电场）， criptlevel="0"> ∇ × E = 0 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0} ，则

criptlevel="0"> ∇ × D = ∇ × P {\displaystyle \nabla \times \mathbf {D} =\nabla \times \mathbf {P} } 。

假若 criptlevel="0"> ∇ × P ≠ 0 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {P} \neq 0} ，则虽然设定 criptlevel="0"> ρ f r e e = 0 {\displaystyle \rho _{free}=0} ，电位移仍旧不等于零： criptlevel="0"> D ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {D} \neq 0} ！

举例而言，拥有固定电极化强度 criptlevel="0"> P {\displaystyle \mathbf {P} } 的永电体，其内部不含有任何自由电荷，但是内在的电极化强度 criptlevel="0"> P {\displaystyle \mathbf {P} } 会产生电场。

只有当问题本身具有某种对称性，像球对称性或圆柱对称性等等，才能够直接使用高斯方法，从自由电荷密度计算出电位移与电场。否则，必需将电极化强度 criptlevel="0"> P {\displaystyle \mathbf {P} } 和边界条件纳入考量。

线性电介质

“线性电介质”，对于外电场的施加，会产生线性响应。例如，铁电材料是非线性电介质。假设线性电介质具有各向同性，则其电场与电极化强度的关系式为

criptlevel="0"> P = χ e ε 0 E {\displaystyle \mathbf {P} =\chi _{e}\varepsilon _{0}\mathbf {E} } ；

其中， criptlevel="0"> χ e {\displaystyle \chi _{e}} 是电极化率。

将这关系式代入电位移的定义式，可以得到

criptlevel="0"> D = ( 1 + χ e ) ε 0 E = ε E {\displaystyle \mathbf {D} =(1+\chi _{e})\varepsilon _{0}\mathbf {E} =\varepsilon \mathbf {E} } ；

其中， criptlevel="0"> ε {\displaystyle \varepsilon } 是电容率。

所以，电位移与电场成正比；其比率是电容率。另外，

criptlevel="0"> ∇ ⋅ ( ε E ) = ρ f r e e {\displaystyle \nabla \cdot (\varepsilon \mathbf {E} )=\rho _{free}} 。

假设这电介质具有均匀性，则电容率 criptlevel="0"> ε {\displaystyle \varepsilon } 是常数：

criptlevel="0"> ∇ ⋅ E = ρ f r e e / ε {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{free}/\varepsilon } 。

定义相对电容率 criptlevel="0"> ε r {\displaystyle \varepsilon _{r}} 为

criptlevel="0"> ε r   = d e f   ε / ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{r}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \varepsilon /\varepsilon _{0}} 。

相对电容率与电极化率有以下的关系：

criptlevel="0"> ε r = 1 + χ e {\displaystyle \varepsilon _{r}=1+\chi _{e}} 。

要注意的一点是，上式 criptlevel="0"> D = ε E {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} } 的描述只是一种近似关系，当 criptlevel="0"> E {\displaystyle \mathbf {E} } 变得很大时， criptlevel="0"> D {\displaystyle \mathbf {D} } 与 criptlevel="0"> E {\displaystyle \mathbf {E} } 就不再成正比关系了。这主要是由于电介质物质的物理特性是很复杂的。也可以理解为，这个式子就像胡克定律一样，只是一种近似。

各向异性线性电介质的电容率是个张量。例如，晶体的电容率通常必需用张量来表示。

应用范例

平行板电容器的两片平板导体分别含有的正负自由电荷，会产生电位移。借着一个扁长方形盒子，可以用高斯定律来解释电位移与自由电荷的关系。

如右图所示，平行板电容器是由互相平行、以空间或电介质相隔的两片平板导体构成的电容器。假设上下两片平板导体分别含有负电荷与正电荷，含有的电荷量分别为 criptlevel="0"> − Q {\displaystyle -Q} 、 criptlevel="0"> + Q {\displaystyle +Q} 。又假设两片平板导体之间的间隔距离超小于平板的长度与宽度，则可以视这两片平板导体为无限平面；做简单计算时，不必顾虑边缘效应。由于系统的对称性，可以应用高斯定律来计算电位移，其方向必定是从带正电平板导体指向带负电平板导体，而且垂直于平板导体；又由于平板导体含有的电荷是自由电荷，不需要知道电介质的性质，就可以应用关于自由电荷的高斯定律来计算电位移。

先计算带正电平板导体所产生的电位移。试想一个扁长方形盒子，其顶面和底面分别在这平板导体的两边，平行于平板导体；而盒子的其它四个侧面都垂直于平板导体。根据关于自由电荷的高斯定律，

criptlevel="0"> ∮ S D + ⋅ d a = Q {\displaystyle \oint _{\mathbb {S} }\mathbf {D} _{+}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =Q} ；

其中， criptlevel="0"> S {\displaystyle \mathbb {S} } 是扁长方形盒子的闭合表面， criptlevel="0"> D + {\displaystyle \mathbf {D} _{+}} 是带正电平板导体所产生的电位移， criptlevel="0"> d a {\displaystyle d\mathbf {a} } 是微小面元素。

由于扁长方形盒子的四个侧面的面向量都与 criptlevel="0"> D + {\displaystyle \mathbf {D} _{+}} 向量相垂直，它们对于积分的贡献是零；只有盒子的顶面和底面对于积分有贡献：

criptlevel="0"> 2 D + A = Q {\displaystyle 2D_{+}A=Q}  ;

其中， criptlevel="0"> A {\displaystyle A} 是盒子顶面、底面的面积。

所以， criptlevel="0"> D + {\displaystyle \mathbf {D} _{+}} 向量的方向是从带正电平板导体垂直地向外指出，大小为

criptlevel="0"> D + = Q / 2 A {\displaystyle D_{+}=Q/2A} 。

类似地，可以计算出带负电平板导体所产生的电位移； criptlevel="0"> D − {\displaystyle \mathbf {D} _{-}} 向量的方向是垂直地指向带负电平板导体，大小为

criptlevel="0"> D − = Q / 2 A {\displaystyle D_{-}=Q/2A} 。

应用叠加原理，可以计算这两片带电平板导体一起产生的电位移。在这两片平板导体之间， criptlevel="0"> D + {\displaystyle \mathbf {D} _{+}} 和 criptlevel="0"> D − {\displaystyle \mathbf {D} _{-}} 的方向相同；应用叠加原理，电位移的大小等于平板导体的表面电荷密度： criptlevel="0"> D = Q / A {\displaystyle D=Q/A} 。在两片平板导体的共同上方或共同下方， criptlevel="0"> D + {\displaystyle \mathbf {D} _{+}} 和 criptlevel="0"> D − {\displaystyle \mathbf {D} _{-}} 的方向相反；应用叠加原理，电位移的大小等于零。

假设电介质的电容率为 criptlevel="0"> ε {\displaystyle \varepsilon } ，则在两片平板导体之间，电场的大小为

criptlevel="0"> E = D / ε = Q / ε A {\displaystyle E=D/\varepsilon =Q/\varepsilon A} 。

假设两片平板导体的间隔距离为 criptlevel="0"> d {\displaystyle d} ，则电压 criptlevel="0"> V {\displaystyle V} 为

criptlevel="0"> V = E d = Q d / ε A {\displaystyle V=Ed=Qd/\varepsilon A} 。

这平行板电容器的电容 criptlevel="0"> C {\displaystyle C} 为

criptlevel="0"> C = Q / V = ε A / d {\displaystyle C=Q/V=\varepsilon A/d} 。

参阅

  • 《论法拉第力线》
  • 《论物理力线》
  • 位移电流
  • 电磁波方程

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